Download Arbeitsbuch zur Analysis einer Veränderlichen: Aufgaben und by Uwe Storch, Hartmut Wiebe PDF

By Uwe Storch, Hartmut Wiebe

Das Buch ist als Ergänzung zu und zum Gebrauch neben einer Vorlesung über research einer Veränderlichen gedacht. Es ist hervorgegangen aus Übungen zu entsprechenden Vorlesungen für Mathematiker, Physiker und Informatiker und enthält Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsgrade mit ausführlichen Lösungen. Es wird vorausgesetzt, dass der Leser die grundlegenden Begriffe und Aussagen aus der research einer Veränderlichen bereits gehört oder sich anderweitig – etwa im Selbststudium – angeeignet hat.

Viele der Aufgaben sind dem ersten Band des Lehrbuchs der Mathematik von U. Storch und H. Wiebe, das ebenfalls im Verlag Springer Spektrum erschienen ist, entnommen; eine ganze Reihe ist aber auch neu.

Um den Leser zur Mitarbeit anzuregen, sind einige Aufgaben ohne Lösungen gelassen. Die Ergebnisse werden dann genannt. Darüber hinaus werden immer wieder Bemerkungen angefügt, die die Resultate illustrieren, ergänzen und interessant machen.

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Damit erhält man der Reihe nach a = (n+1)n , b = nn , x = (n+1)n /nn = 1 + n1 und y = (1+ q)x = 1+ 1 n x = 1+ 1 n+1 . n • 1 n , n 1 n+1 n Bemerkungen (1) Die angegebenen Paare (xn , yn ) = 1 + , n ∈ N∗ , bilden 1+ die berühmte Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl e = 2,7 1828 1828 4590 . . , vgl. 10. (2) Zu jeder reellen positiven Zahl x mit 1 < x < e gibt es genau eine reelle Zahl y > x mit x y = y x . Dabei ist notwendigerweise y > e. Zum Beweis beachte man, dass x y = y x äquivalent ist zu (ln x)/x = (ln y)/y .

Wir deklarieren sie vom Datentyp unsigned long. Unter Linux auf 64-Bit-Systemen kann man dann bis 264 − 1 ≈ 18 · 1018 rechnen. Benutzt man standardmäßig den Datentyp unsigned int (womit allerdings der verfügbare Zahlenraum stärker eingeschränkt wird), so hat man unsigned long in den Zeilen 04,07,08 durch unsigned int zu ersetzen und %lu in den Zeilen 06,14,21 durch %u. Mit den Zeilen 07 und 08 wird der Speicherplatz für die Feldvariablen bell[0], . . , bell[n] bzw. bin[0], . . , bin[n] reserviert.

0 = α0 im Widerspruch zu β0 > 2α0 − 2 ≥ α0 (wegen α0 ≥ 2). Genau dann ist also a − 2b ein Teiler von b2 , wenn für i = 1, . . , r gilt 0 ≤ βi ≤ 2αi , und wenn β0 = α0 ist für α0 ∈ {0, 1} bzw. 2 ≤ β0 ≤ 2α0 −2 für α0 ≥ 2. Die gesuchte Anzahl ist nunmehr bei α0 = 0 gleich der Anzahl der Teiler von a 2 , die kleiner als a sind. Da für jeden Teiler c > a von a 2 der Teiler a 2 /c von a 2 kleiner als c ist und außerdem der Teiler a selbst nicht in Frage kommt, ist bei v2 (a) = 0 die Zahl der x, für die x(x+a) ein Quadrat ist, nach Aufgabe 8 gleich T (a 2 )− 1 /2 = (2α1 + 1) · · · (2αr + 1) − 1 /2 = T (a 2 )/2 .

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