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By Bodo Pareigis

Die desktop Graphik ist eine der schönsten und attraktivsten Anwendungen von Computern. Kleine Zeichenprogramme für den Hausgebrauch, Graphiken für den Buchdruck, Architektur-Zeichnungen, graphische Darstellungen von Wirt­ schaftsentwicklungen, Konstruktionszeichnungen für den Maschinenbau und ani­ mierte Graphiken bis hin zum abendfüllenden Spielfilm sind eine Auswahl der graphischen Möglichkeiten, die durch den computing device erschlossen werden. Die laptop Graphik stellt höchste Anforderungen an die Leistungsfähigkeit von Computern. Gerade auf ihrem Gebiet reihen sich technische Neuerungen und Entwicklungen in dichter Folge aneinander. Neben den technischen Entwicklungen werden auch neue mathematische Me­ thoden und Algorithmen verwendet, um die Graphik noch leistungsfähiger zu machen. Eine der elegantesten für die Graphik verwendeten mathematischen Methoden wird durch den Begriff der "homogenen Koordinaten" beschrieben. Sie sind die Koordinaten, die in der projektiven Geometrie verwendet werden. Und tatsächlich stammen viele der verwendeten Methoden der desktop Gra­ phik aus der projektiven Geometrie. Darstellungen dieses schönen mathematischen Gebiets in einer Weise, wie sie für die Anwendungen in der desktop Graphik wünschenswert wären, sind schwer zu finden. Ich habe daher versucht, diejenigen Methoden der projektiven Geo­ metrie, die für Anwendungen in der desktop Graphik besonders interessant sind, in diesem Buch zusammenzustellen. Die ersten drei Kapitel sind der allgemeinen Sprache der linearen Algebra ge­ widmet, dem Rechnen mit Koordinaten, Vektoren und Matrizen. Der Leser, der mit diesen Begriffen schon vertraut ist, kann diese Kapitel zunächst übergehen und sie später als Referenz für besondere Begriffe oder Algorithmen verwenden.

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2 Lineare Abbildungen und Matrizen 33 wird sie durch die lineare Abbildung g = \dy auf ganz V fortgesetzt. 32 ist dieses die einzige mögliche Fortsetzung. 33 läßt sich diese lineare Abbildung bezüglich der beiden Basen durch eine n x n-Matrix darstellen als n id(6») = b = Y2 i i=i ' i' ai { c Dabei sind die Koeffizienten dieselben wie oben bestimmt. 34 ist diese Matrix invertierbar, da ja die identische Abbildung invertierbar ist. 44 D e f i n i t i o n : Für einen Vektorraum V mit zwei Basen 6 i , .

F(b ) eine Basis des Bildes B i l d ( / ) ist. Die Dimension des Bildes ist also dim(Bild(/)) = n — k = dim(V) — dim(Kern(/)), wie die Formel im Satz behauptet. 39 D e f i n i t i o n : D i e Dimension dim(Bild(/)) einer linearen Abbildung / heißt auch Rang der Abbildung u n d w i r d mit rg(/) bezeichnet. 40 F o l g e r u n g . Sei f : V —> W eine lineare Abbildung, f ist genau dann bijektiv, wenn K e r n ( / ) = 0 und d\m(V) = dim(W) gelten. In diesem Falle stimmen der Rang von f und die Dimension von V überein.

2 ) oder 2 T(J32). Sonst heißen B i und £ 2 windschief. 9 D e f i n i t i o n : E i n affiner Unterraum # eines affines Raumes A mit Translationsraum V heißt eine affine Gerade in J4, wenn # ein eindimensionaler affiner Unterraum von A ist. E i n affiner Unterraum U eines affinen Raumes A der Dimension n wird affine Hyperebene genannt, wenn er die Dimension n — 1 hat. Ahnlich wie bei den Vektorräumen kann man auch unendliche Durchschnitte von affinen Räumen bilden und erhält als nicht-leere Durchschnitte wieder affine U n terräume.

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