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By Otto Forster

Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IRn mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik correct sind. Für die eight. Auflage wurde der textual content sorgfältig durchgesehen sowie an einigen Stellen ergänzt und es kamen neue Abbildungen hinzu.

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Sei ε > 0 vorgegeben. Es gibt dann εi > 0 mit ∑i∈I εi es Mengen Bi ∈ A↑ mit Xi ⊂ Bi und µ∗ (Xi ) µ(Bi ) µ∗ (Xi ) + εi . ε. Nach Definition von µ∗ gibt § 3 Fortsetzung eines Pr¨amaßes zu einem Maß Es ist dann µ∗ S [ Xi ⊂ S Bi , also unter Benutzung von Satz 2 d) µ Xi 27 i∈I [ ∑ µ(Bi) ∑ µ∗(Xi) + ε. Bi i∈I i∈I i∈I Da dies f¨ur alle ε > 0 gilt, folgt die Behauptung. 1) Das Lebesguesche a¨ ußere Maß. Als Beispiel betrachten wir das dem Lebesgueschen Pr¨amaß λn : Q(Rn ) → R+ zugeordnete a¨ ußere Maß, das wir mit λ∗ bezeichnen.

H. eine Abbildung P : Ω → {true, false}). Man sagt, P gelte µ-fast u¨ berall, falls die Menge der Punkte x ∈ Ω, f¨ur die P(x) falsch ist, eine Nullmenge ist. Im Falle des Lebesgue-Maßes λ sagt man statt λ-fast u¨ berall auch Lebesgue-fast u¨ berall. Damit l¨asst sich der Inhalt von Satz 10 so ausdr¨ucken: a) b) c) R | f |dµ = 0 genau dann, wenn f = 0 fast u¨ berall. f integrierbar ⇒ | f | < ∞ fast u¨ berall. f = g fast u¨ berall ⇒ R f dµ = gdµ. R Satz 10 zeigt, dass es keine große Einschr¨ankung der Allgemeinheit bedeutet, nur solche integrierbare Funktionen zu betrachten, die u¨ berall endlich sind.

Nullmengen Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum und µ∗ : P(Ω) → R+ das zugeh¨orige a¨ ußere Maß. Eine Teilmenge S ⊂ Ω heißt µ-Nullmenge, falls µ∗ (S) = 0. Im Falle des Lebesgueschen Maßes spricht man von Lebesgue-Nullmengen. Aus Satz 3 c) folgt, dass die Vereinigung von abz¨ahlbar vielen Nullmengen wieder eine Nullmenge ist. Nat¨urlich ist die leere Menge stets eine Nullmenge, aber auch nicht-leere Mengen k¨onnen das a¨ ußere Maß 0 haben. 2) Wir betrachten den 1-dimensionalen Lebesgue-Borelschen Maßraum (R, B (R), λ).

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